有限数学示例

$\frac{\log (\sqrt{x \sqrt{x}})}{\log (\sqrt[3]{x})}$

解题步骤 1

将 $\frac{\log (\sqrt{x \sqrt{x}})}{\log (\sqrt[3]{x})}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\log (\sqrt[3]{x}) = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

使用对数的定义将 $\log (\sqrt[3]{x}) = 0$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$10^{0} = \sqrt[3]{x}$

解题步骤 2.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.1

将方程重写为 $\sqrt[3]{x} = 10^{0}$ 。

$\sqrt[3]{x} = 10^{0}$

解题步骤 2.2.2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${\sqrt[3]{x}}^{3} = {(10^{0})}^{3}$

解题步骤 2.2.3

化简方程的两边。

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解题步骤 2.2.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(10^{0})}^{3}$

解题步骤 2.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.3.2.1

化简 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 2.2.3.2.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(10^{0})}^{3}$

解题步骤 2.2.3.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(10^{0})}^{3}$

解题步骤 2.2.3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = {(10^{0})}^{3}$

解题步骤 2.2.3.2.1.2

化简。

$x = {(10^{0})}^{3}$

解题步骤 2.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.3.3.1

化简 ${(10^{0})}^{3}$ 。

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解题步骤 2.2.3.3.1.1

将 ${(10^{0})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.3.3.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = 10^{0 \cdot 3}$

解题步骤 2.2.3.3.1.1.2

将 $0$ 乘以 $3$ 。

$x = 10^{0}$

解题步骤 2.2.3.3.1.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 3

将 $\log (\sqrt{x \sqrt{x}})$ 中的参数设为小于等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt{x \sqrt{x}} \leq 0$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

要去掉不等式左边的根式，请对不等式两边进行立方。

${\sqrt{x \sqrt{x}}}^{2} \leq 0^{2}$

解题步骤 4.2

化简不等式的两边。

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解题步骤 4.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x \sqrt{x}}$ 重写成 ${(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

解题步骤 4.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.2.1

化简 ${({(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.1

将 ${({(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(x \sqrt{x})}^{1} \leq 0^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.2

化简。

$x \sqrt{x} \leq 0^{2}$

解题步骤 4.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$x \sqrt{x} \leq 0$

解题步骤 4.3

要去掉不等式左边的根式，请对不等式两边进行立方。

${(x \sqrt{x})}^{2} \leq 0^{2}$

解题步骤 4.4

化简不等式的两边。

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解题步骤 4.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

${(x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

解题步骤 4.4.2

化简左边。

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解题步骤 4.4.2.1

化简 ${(x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 4.4.2.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.4.2.1.1.1

将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.4.2.1.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

${(x^{1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

解题步骤 4.4.2.1.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(x^{1 + \frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

解题步骤 4.4.2.1.1.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

${(x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

解题步骤 4.4.2.1.1.3

在公分母上合并分子。

${(x^{\frac{2 + 1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

解题步骤 4.4.2.1.1.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

解题步骤 4.4.2.1.2

将 ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.4.2.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

解题步骤 4.4.2.1.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.2.1.2.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

解题步骤 4.4.2.1.2.2.2

重写表达式。

$x^{3} \leq 0^{2}$

解题步骤 4.4.3

化简右边。

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解题步骤 4.4.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$x^{3} \leq 0$

解题步骤 4.5

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.5.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[3]{x^{3}} \leq \sqrt[3]{0}$

解题步骤 4.5.2

化简方程。

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解题步骤 4.5.2.1

化简左边。

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解题步骤 4.5.2.1.1

从根式下提出各项。

$x \leq \sqrt[3]{0}$

解题步骤 4.5.2.2

化简右边。

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解题步骤 4.5.2.2.1

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

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解题步骤 4.5.2.2.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$x \leq \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 4.5.2.2.1.2

从根式下提出各项。

$x \leq 0$

解题步骤 5

将 $\log (\sqrt[3]{x})$ 中的参数设为小于等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt[3]{x} \leq 0$

解题步骤 6

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

To remove the radical on the left side of the inequality, cube both sides of the inequality.

${\sqrt[3]{x}}^{3} \leq 0^{3}$

解题步骤 6.2

化简不等式的两边。

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解题步骤 6.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} \leq 0^{3}$

解题步骤 6.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.1

化简 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 6.2.2.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} \leq 0^{3}$

解题步骤 6.2.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} \leq 0^{3}$

解题步骤 6.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} \leq 0^{3}$

解题步骤 6.2.2.1.2

化简。

$x \leq 0^{3}$

解题步骤 6.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$x \leq 0$

解题步骤 7

将 $\sqrt{x}$ 的被开方数设为小于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x < 0$

解题步骤 8

将 $\sqrt{x \sqrt{x}}$ 的被开方数设为小于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x \sqrt{x} < 0$

解题步骤 9

求解 $x$ 。

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解题步骤 9.1

要去掉不等式左边的根式，请对不等式两边进行立方。

${(x \sqrt{x})}^{2} < 0^{2}$

解题步骤 9.2

化简不等式的两边。

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解题步骤 9.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

${(x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

解题步骤 9.2.2

化简左边。

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解题步骤 9.2.2.1

化简 ${(x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 9.2.2.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 9.2.2.1.1.1

将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 9.2.2.1.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

${(x^{1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

解题步骤 9.2.2.1.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(x^{1 + \frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

解题步骤 9.2.2.1.1.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

${(x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

解题步骤 9.2.2.1.1.3

在公分母上合并分子。

${(x^{\frac{2 + 1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

解题步骤 9.2.2.1.1.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2} < 0^{2}$

解题步骤 9.2.2.1.2

将 ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 9.2.2.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} < 0^{2}$

解题步骤 9.2.2.1.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.2.1.2.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} < 0^{2}$

解题步骤 9.2.2.1.2.2.2

重写表达式。

$x^{3} < 0^{2}$

解题步骤 9.2.3

化简右边。

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解题步骤 9.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$x^{3} < 0$

解题步骤 9.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 9.3.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

解题步骤 9.3.2

化简方程。

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解题步骤 9.3.2.1

化简左边。

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解题步骤 9.3.2.1.1

从根式下提出各项。

$x < \sqrt[3]{0}$

解题步骤 9.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 9.3.2.2.1

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

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解题步骤 9.3.2.2.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 9.3.2.2.1.2

从根式下提出各项。

$x < 0$

解题步骤 9.4

求 $x \sqrt{x}$ 的定义域。

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解题步骤 9.4.1

将 $\sqrt{x}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x \geq 0$

解题步骤 9.4.2

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$[0, \infty)$

解题步骤 9.5

使用每一个根建立验证区间。

$x < 0$

$x > 0$

解题步骤 9.6

从每个区间中选择一个测试值并将其代入原不等式中以判定哪些区间能满足不等式。

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解题步骤 9.6.1

检验区间 $x < 0$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 9.6.1.1

选择区间 $x < 0$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = - 2$

解题步骤 9.6.1.2

使用原不等式中的 $- 2$ 替换 $x$ 。

$(- 2) \sqrt{- 2} < 0$

解题步骤 9.6.1.3

因为左边不等于右边，所以该命题为假命题。

False

解题步骤 9.6.2

检验区间 $x > 0$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 9.6.2.1

选择区间 $x > 0$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 2$

解题步骤 9.6.2.2

使用原不等式中的 $2$ 替换 $x$ 。

$(2) \sqrt{2} < 0$

解题步骤 9.6.2.3

左边的 $2.82842712$ 不小于右边的 $0$ ，即给定的命题是假命题。

False

解题步骤 9.6.3

比较各区间以判定哪些区间能满足原不等式。

$x < 0$ 为假

$x > 0$ 为假

$x < 0$ 为假

$x > 0$ 为假

解题步骤 9.7

因为没有任何数处于区间内，所以此不等式无解。

无解

解题步骤 10

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x \leq 0, x = 1$

$(- \infty, 0] \cup [1, 1]$

解题步骤 11

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